HOJI-CHAN’s diary

自己学習の備忘録

ハザードレートと生存確率について

金融

土屋さんの「XVA　モデルの理論と実務」（きんざいストア）を読んでいくつか気になった部分をメモにまとめておこうと思います。
知識が足りず理解が足らない部分もありますが、全体的に丁寧でわかりやすいと思いました。

2-2章一部抜粋
時点0に観測する時点{t}まで法人Aのデフォルトが起きない確率（生存確率）{ P^A(0,t)}は期間{[0,t]}を微小な時間間隔に{[u_0=0,u_1=0,\cdots,u_n=t]}と分割することにより、{ P^A(0,t)=\lim_{n\to\infty}\Pi_{j=0}^n(1-\lambda^A(u_j)du)=\exp(-\int_0^t\lambda^A(u)du)}


この部分について、自分なりの理解（「第1項=第2項」は直感的に理解できたので割愛する。）

T:デフォルト時点

\begin{align} \lambda^A(u) &= \lim_{du\to 0}\frac{1}{du}P(t< T < t+du | T > t)\\\ &= \lim_{du\to 0}\frac{1}{du}\cdot \frac{P( (t< T < t+du) \& (T > t) )}{P(T>t)}\\\ &= \lim_{du\to 0}\frac{1}{du}\cdot \frac{P( t< T < t+du )}{P(T>t)} \end{align}

{P^A(0,t)= P(t < T)=1-P(T \leq t)=:1-F(t)}であるから、

\begin{align} \lambda^A(u) &= \lim_{du\to 0}\frac{1}{du}\cdot \frac{P( t< T < t+du )}{P(T>t)} \\\ &= \lim_{du\to 0}\frac{-P^A(0,t+du)+P^A(0,t)}{du}\cdot \frac{1}{P^A(0,t)} \\\ &= - \frac{d \log(P^A(0,t))}{dt} \end{align}

積分して、

{ P^A(0,t)=\exp(-\int_0^t\lambda^A(u)du)}